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　　第一部分 数与代数

　　一、分数乘法

　　（一）分数乘法的计算法则：

　　1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分）

　　2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

　　3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。

　　注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

　　（二）规律：（乘法中比较大小时）

　　一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。

　　一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。

　　一个数（0除外）乘1，积等于这个数。

　　（三）分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

　　（四）整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。

　　乘法交换律：a×b=b×a

　　乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

　　乘法分配律：（a+b）×c=ac+bc ac+bc=（a+b）×c

　　二、分数乘法的解决问题（详细见重难点分解）

　　（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是 kaiyun 多少）

　　1、找单位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占”、“是”、“比”的后面

　　2、求一个数的几倍： 一个数×几倍； 求一个数的几分之几是多少： 一个数× 。

　　3、写数量关系式技巧：

　　（1）“的”相当于 “×”（乘号）

　　“占”、“是”、“比”“相当于”相当于“=”（等号）

　　（2）分率前是“的”：

　　单位“1”的量×分率=分率对应量

　　（3）分率前是“多或少”的意思：

　　单位“1”的量×（1±分率）=分率的对应量

　　二、分数除法

　　（一）倒数

　　1、倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。

　　强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数）。

　　2、求倒数的方法：（原数与倒数之间不要写等号哦）

　　（1）求分数的倒数：交换分子分母的位置。

　　（2）求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。

　　（3）求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。

　　（4）求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。

　　3、因为1×1=1，1的倒数是1；

　　因为找不到与0相乘得1的数0没有倒数。

　　4、对于任意数a(a≠0)，它的倒数为1/a；非零整数a的倒数为1/a；分数b/a的倒数是a/b；

　　5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。

　　（二）分数除法

　　1、分数除法的意义：

　　分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

　　2、分数除法的计算法则： 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

　　3、规律（分数除法比较大小时）：

　　（1）当除数大于1，商小于被除数；

　　（2）当除数小于1（不等于0），商大于被除数；

　　（3）、当除数等于1，商等于被除数。

　　4、“[ ] ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。

　　（三）分数除法解决问题（详细见重难点分解）

　　（未知单位“1”的量（用除法）： 已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 ）

　　1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

　　（1）分率前是“的”：

　　单位“1”的量×分率=分率对应量

　　（2）分率前是“多或少”的意思：

　　单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量

　　2、解法：（建议：最好用方程解答）

　　（1）方程：根据数量关系式设未知量为x，用方程解答。

　　（2）算术（用除法）：分率对应量÷对应分率 = 单位“1”的量

　　3、求一个数是另一个数的几分之几：就用一个数÷另一个数

　　4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：

　　① 求多几分之几：大数÷小数 – 1

　　② 求少几分之几： 1 - 小数÷大数

　　或①求多几分之几（大数-小数）÷小数

　　② 求少几分之几：（大数-小数）÷大数

　　（四）比和比的应用

　　1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

　　2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）。

　　例如

　　15 ： 10 = 15÷10=1.5

　　∶ ∶ ∶ ∶

　　前项 比号 后项 比值

　　3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。

　　例： 路程÷速度=时间。

　　4、区分比和比值

　　比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

　　比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。

　　5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。

　　6、比和除法、分数的联系：

　　

　　7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。

　　8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。

　　体育比赛中出现两队的分是2:开云体育官网0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

　　（五）比的基本性质

　　1、根据比、除法、分数的关系：

　　商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

　　分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。

　　比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。

　　2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。

　　3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

　　4.化简比：

　　（1）用比的基本性质化简

　　①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

　　②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。

　　③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。

　　（2）用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。

　　5．按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。

　　如： 已知两个量之比为 ，则设这两个量分别为 。

　　6、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4）

　　工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。

　　（如：工作总量相同，工作时间比是3:2，工作效率比则是2:3）

　　三、百分数

　　（一）百分数的意义和写法

　　1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。

　　百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。

　　2、百分数和分数的主要联系与区别：

　　（1）联系：都可以表示两个量的倍比关系。

　　（2）区别：

　　①意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；

　　分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。

　　②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；

　　分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。

　　3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。

　　（二）百分数与小数的互化：

　　1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

　　2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。

　　（三）百分数的和分数的互化

　　1、百分数化成分数：

　　先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。

　　2、分数化成百分数：

　　① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。

　　②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。

　　（四）常见的分数与小数、百分数之间的互化

　　

　　（五）用百分数解决问题（详细见重难点分解）

　　【知识要点】

　　一、“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”是分数应用题解题的根本依据，结合分数的定义来理解，就是把一个数（或是整体）平均分成分母份，取分子份。

　　二、分数、百分数应用题的主要类型：

　　所有分数与百分数的应用题都是围绕“单位“1”×分率＝对应量”这个关系式来出题，所以可以分为求对应量、求单位“1”、求分率三大类：

　　第一大类：求对应量，也就是已知单位“1”和所求量在单位“1”中占的分率。

　　

　　第二大类：求单位“1”，也就是已知一个数量与它在所求量中占的分率，这类题一般是已知部分量求整体量，尤其是在扇形统计图的题中最能体现，此类题最关键的是要“量率对应”。

　　

　　第三大类：求分率，也就是已知两个数量，要求其中一个量在另一个量中所占的分率，或者要求一个量比另一个量多或少几（百）分之几

　　（1）求B是A的几（百）分之几： 用“B÷A”

　　（2）求B比A多（少）几（百）分之几

　　（大数—小数）÷单位“1” 或者说是 两数之差÷单位“1”

　　注：单位“1”就是指“标准量”，也就是在描述两个量的关系时，是以哪个量为标准，那个量就叫单位“1”，例如：小明比小红高1%，这里是以小红的身高为标准，因此小红的身高是单位“1”。一般在题中，只需要找到“是”、“占”、“比”、“相当于”等字词，这些字词后面跟着的量就是单位“1”，除此之外，总数，原价，原来的量是固定的单位“1”。

　　三、较复杂的分数（百分数）应用题是基本分数应用题的延续和发展，它的特点是已知条件之间、已知条件和所求问题之间不再有直接的对应量率关系。解题时一定要找准标准量（单位“1’）,找准“与量对应的率”、“与率对应的量”，并利用线段图来帮助理解题意，分析数量关系。

　　

　　四、百分率问题：

　　优秀率＝优秀人数÷总人数×100% 成活率=成活棵树÷总棵树×100%

　　花生出油率＝花生油重量÷花生重量×100% 合格率=合格人数÷总人数×100%

　　出粉率=面粉质量÷小麦质量×100% 百分率=部分数÷总数×100%

　　现实生活中还有“及格率”、“出勤率”、“合格率”、“达标率”、“利润率”等含意相近的词，我们要灵活运用（百）分数知识，解决这些实际问题。

　　五、按比例分配问题：

　　按比例分配:把一个数按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫做按比例分配。解答按比例分配问题，要根据已知条件，把已知数量与份数对应起来,转化为求一个数的几分之几来做。

　　

　　六、工程问题。

　　解题指导：“工程问题”指的都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到相遇运动和向水池注水等等。解答工程问题时，一般都是把总工作量看作单位“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。

　　工程问题关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作效率和＝合作时间

　　注：在题目中没有给出工程的工作总量是多少，解题时就用1来表示工作总量，用时间的倒数表示工作效率。

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